如何用微分中值定理证明不等式
要证明不等式（1+x）^n≥ 1+nx，可以利用微分中值定理。
首先，我们定义一个函数f(x)=(1+x)^n-(1+ nx)。我们需要证明的是f(x)≥ 0对于所有x>-1和 n≥ 1成立。
根据微分中值定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)上可微分，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f’©=(f(b)- f(a))/(b- a)。
我们选择一个合适的区间[a, b]，使得f(a)= f(-1)= 0，f(b)≥ 0。
计算f’(x)= n(1+x)^(n-1)- n，由于(1+x)^(n-1)≥ 1，因为x>-1且n≥ 1。
所以f’(x)= n(1+x)^(n-1)- n≥ 0，即f’(x)≥ 0，说明f(x)在区间(a, b)上单调递增。
根据微分中值定理，存在一个点c，使得f’©=(f(b)- f(a))/(b- a)。由于f’(x)≥ 0，所以(f(b)- f(a))/(b- a)≥ 0，也就是f(b)- f(a)≥ 0。
因为f(a)= 0，所以f(b)≥ 0。即对于x>-1和n≥ 1，有f(x)≥ 0。
而f(x)=(1+x)^n-(1+ nx)，所以（1+x）^n≥ 1+nx成立。证毕。
因此，根据微分中值定理，可以证明当x>-1且n≥ 1时，（1+x）^n≥ 1+nx。
关于微分中值定理的证明题~~~
第一题：
设f(x)原函数为F(x)，则f(x)在[a,b]上的积分=F(b)-F(a)=0
现在只要在(a,b)上找一点x0,使得F(x0)=F(a)即可，这样由XX（貌似是罗尔？）定理，在[a,x0]、[x0,b]上就分别有一点使F(x)导数为零，即f(x)=0
在[a,b]上，xf(x)dx的积分=xdF(x)的积分=xF(x)- [ F(x)dx的积分 ]=(b-a)*F(a)- [F(x)dx的积分]= 0
由XX中值定理（貌似柯西？），存在一个x0属于(a,b),使得F(x)dx的积分等于(b-a)*F(x0)
代入上式可知F(x0)=F(a)就是所求的分割点
第二题
将结论改为f(c)+cf'(c)=0,注意到等号左边是[xf(x)]'形式，即求一点c使得这个点上xf(x)导数为零，由XX定理，等价于在(0,1)上找互异两点x1,x2使x1f(x1)= x2f(x2)
类似上题，剩下的你自己想想吧。我要吃饭去了...回来再改
这类题找合适的原函数的技巧需要总结。
用微分中值定理证明某方程在有且仅有3个不同实根
其实只要简单的利用罗尔中值定理就可证明这个题目。考察函数 f（x）=2^x-x^2-1，可以知道函数在整个数轴上连续可导，那么在以函数的零点为端点的区间上必然满足罗尔中值定理的条件。将函数求导可得导数为零的点满足方程(2^x)*ln2- 2x= 0,实际上不难看出这个方程只有两个不同的解，也就是说函数在数轴上有且只有三个不同的实根，如若不然(2^x)*ln2- 2x= 0的不重合的解必然不可能是两个。
如何理解三大微分中值定理
微分中值定理(即罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,泰勒定理)是数学分析上册最重要的内容之一,想要学好中值定理,首先要学习它们的证明方法,需要强调的是拉格朗日中值定理与柯西中值定理均可由罗尔中值定理进行证明,证明的方法为积分法,这是构造辅助函数最基本的一种手段,另外由此也可以看出罗尔中值定理的极端重要性.
1.罗尔中值定理的证明过程如下所示：
注意：罗尔中值定理是微分中值定理的基本，根据之后的积分法可知，拉格朗日中值定理和柯西中值定理是由罗尔中值定理证明的，也就是说，理论上，可以用拉格朗日中值定理或者柯西中值定理的题目，均可以由罗尔中值定理证明。
2.拉格朗日中值定理的证明过程如下所示：
3.柯西中值定理的证明过程如下所示：
经过以上三个微分中值定理的证明过程之后，我们会发现，在拉格朗日中值定理中如果f(a)=f(b),就是罗尔中值定理，在柯西微分中值定理中，如果g(x)=x,那么就成为了拉格朗日中值定理，我们就可以得出他们之间的关系为：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况，同样，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况。
这三大微分中值定理是研究函数的有力工具，微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的欢喜，应用十分广泛，我们只有对这三个微分中值定理做到真正的理解，才能在用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、求拐点的方法，描绘函数的图像等等，这些更深层次的问题中灵活运用。